片方の耳たぶのピアス穴が、開けてから4ヶ月以上経っても完成しないうえに、周辺にしこりようなものができてしまいました。 しこりができたのはここ1、2週間以内のことだと思います。 治すことは可能でしょうか。また、その場合はどのような治療が必要なのでしょうか。

次の2つの原因が考えられます。
第1が感染、第2が金属アレルギーです。
いずれにしても炎症性の変化ですので

(1) 一旦抗生物質を服用して1週間ほど様子をみる、そののち炎症の改善が見られない場合には

(2) ピアスを取りシリコンチュ―ブに入れ替えた上で感染が治まるのを待つ、それでも炎症が治まらない場合には

(3) 一旦ピアスホールを諦めて元の状態に治した上で新たにピアスホールを作る。となります。